Rischio di sequenza: stessi rendimenti, risultati diversi

Due persone ottengono gli stessi rendimenti annui, in ordine diverso. Finiscono con lo stesso capitale?

Senza versamenti né prelievi, con lo stesso capitale iniziale e gli stessi rendimenti effettivi, il capitale finale è identico. Con flussi di importo fisso può cambiare molto: nell’esempio decennale di questa pagina la differenza è circa 240.000 euro. È un esempio ipotetico, non una previsione.

Prima il concetto, poi il conto

Questa pagina approfondisce la guida La media dei rendimenti non paga le bollette. L’ordine sì.. Per accumulo si intende una fase con versamenti; per decumulo una fase con prelievi. Un flusso è denaro che entra nel portafoglio o ne esce.

Senza flussi il prodotto dei fattori di crescita non cambia quando si scambiano gli anni: 1,20 × 0,90 × 1,05 = 1,134. Il capitale finale coincide; le perdite intermedie e il tempo necessario a recuperarle possono invece essere diversi. L’ordine può dunque contare per una scadenza o per la sostenibilità del percorso, anche quando non cambia il saldo finale.

La formula con il calendario

Senza flussi: Vₙ = V₀ × (1+r₁) × … × (1+rₙ). V₀ è il capitale iniziale in euro, Vₙ quello dopo n anni, rₜ il rendimento dell’anno t in forma decimale: +20% si scrive 0,20.

Per rifare i conti basta una regola annuale: Vₜ = (Vₜ₋₁ + Cₜ) × (1+rₜ) − Pₜ. Cₜ è il versamento a inizio anno e Pₜ il prelievo a fine anno, entrambi in euro. Ogni anno si riparte dal risultato del precedente.

La moltiplicazione resta commutativa: cambia l’espressione da calcolare. Un versamento iniziale partecipa al rendimento dell’anno; un prelievo finale viene sottratto dopo quel rendimento. Con flussi l’ordine può incidere, ma non è una condizione sufficiente in ogni caso. Se si preleva sempre la stessa percentuale q del valore di fine anno, Vₙ = V₀ × ∏(1+rₜ) × (1−q)ⁿ: il saldo finale resta uguale scambiando i rendimenti, mentre gli importi prelevati nei singoli anni cambiano.

A. Nessun flusso: sei ordini, un solo risultato

Input: 10.000 euro iniziali, tre anni, rendimenti ipotetici +20%, −10%, +5%. Nessun versamento o prelievo, costo o imposta. Calcoli a precisione piena, arrotondamento finale ai centesimi.

Capitale finale senza flussi

B. Accumulo: 10.000 euro all’inizio di ogni anno

Si parte da zero e si versano 10.000 euro a inizio di ciascuno dei tre anni: totale versato 30.000 euro. I rendimenti sono sempre gli stessi. In questa prova l’ordine crescente produce il capitale maggiore. Il recupero successivo è già contenuto nella serie ipotizzata: non si può dedurne che un ribasso iniziale sia sempre vantaggioso.

La distanza tra gli estremi è 6.150 euro, pari al 20,64% del risultato più basso. Un capitale iniziale diverso, flussi irregolari o un mancato recupero cambiano il confronto.

Capitale finale con versamenti iniziali

C. Decumulo: 10.000 euro alla fine di ogni anno

Input: 100.000 euro iniziali e tre prelievi finali di 10.000 euro, per un totale di 30.000 euro. In queste sei prove la graduatoria si capovolge: i cali iniziali lasciano meno capitale a sostenere le uscite.

Anche qui gli estremi distano 6.150 euro, pari al 7,80% del saldo inferiore. L’uguaglianza della differenza in euro rispetto al caso B deriva da questi flussi costanti e dalle convenzioni dichiarate; non vale per qualsiasi calendario di entrate e uscite.

Capitale finale dopo i prelievi

D. Dieci anni: quasi 240.000 euro di differenza

Input: 500.000 euro iniziali, 40.000 euro prelevati a fine di ogni anno per dieci anni, totale prelevato 400.000 euro. Serie ipotetica: −20%, −10%, +5%, +10%, +8%, +12%, +15%, +5%, +18%, +7%. Il confronto usa la stessa serie in ordine inverso. Non si applicano inflazione, costi o imposte.

La media aritmetica della serie è 5,00%; il rendimento cumulato senza flussi è +53,36%; il tasso composto annuo senza flussi è 4,37%. Queste sono misure della serie di rendimenti, non il rendimento personale dopo i prelievi. Il capitale resta positivo in tutti gli anni dei due esempi.

La stessa serie, con e senza prelievi

La differenza è calcolata prima degli arrotondamenti: sottraendo i due saldi già arrotondati compare uno scarto di un centesimo. È +178,40% rispetto al saldo inferiore, non un rendimento del portafoglio.

Rifare il calcolo anno per anno

Una riga per anno permette di controllare sia il calendario sia la disponibilità del capitale prima del prelievo. Per il primo anno della sequenza A: 500.000 × 0,80 − 40.000 = 360.000 euro. Nella sequenza inversa: 500.000 × 1,07 − 40.000 = 495.000 euro.

Saldo dopo il prelievo annuale

Che cosa dimostra il rischio di sequenza

Un rendimento medio e un capitale finale sono grandezze diverse. Il secondo dipende anche dal capitale iniziale, dagli importi e dalle date dei flussi. Per interpretare una simulazione servono tutte queste informazioni.

L’errore comune è usare la media storica come se il capitale crescesse allo stesso ritmo ogni anno. Una verifica educativa consiste nel mantenere invariati i flussi e spostare gli anni peggiori all’inizio: si osserva quanto cambia la capacità di finanziare le uscite, senza attribuire probabilità allo scenario.

Una riserva o una regola di spesa flessibile può modificare l’esposizione alle vendite forzate, ma comporta compromessi e non garantisce la sostenibilità. Se il capitale si esaurisce, non si prosegue il modello con un saldo negativo come se fosse un investimento senza debiti: si registra l’esaurimento e si rivedono le ipotesi.

Ribilanciamento: un confronto distinto

Ribilanciare significa riportare i pesi verso quelli stabiliti. Mantiene l’allocazione programmata, non una volatilità immutabile: volatilità e correlazioni possono cambiare. Non sceglie l’ordine dei rendimenti e non elimina il rischio dei prelievi. La guida Il riequilibrio come controllo del rischio spiega il processo.

Nella definizione di Willenbrock (2011), il diversification return è la differenza fra rendimento composto del portafoglio ribilanciato e media pesata dei rendimenti composti dei componenti. Il riferimento equivale a un portafoglio ipotetico con gli stessi pesi e rendimenti costanti, privi di oscillazioni. Non è il rendimento del portafoglio acquistato e lasciato invariato.

In simboli: DR = gₚ − Σwᵢgᵢ. gₚ è il tasso composto del portafoglio ribilanciato; gᵢ quello del componente i; wᵢ è il suo peso. Il simbolo Σ significa sommare i termini. L’approssimazione DR ≈ ½ × (Σwᵢσᵢ² − σₚ²) usa varianze dei rendimenti sulla stessa frequenza: σ è la volatilità in decimali. È un’approssimazione, non una garanzia di extra-rendimento.

Due attivi che oscillano in senso opposto

Input: 100 euro iniziali, sei anni, A alterna +30% e −20%; B alterna −10% e +20%. Si parte con 50 euro ciascuno. Il ribilanciamento ripristina il 50/50 dopo ogni anno; l’altra strategia lascia crescere separatamente le due posizioni. Nessun flusso esterno, costo o imposta.

I tassi composti di A e B sono rispettivamente 1,980% e 3,923% annui; la loro media pesata è 2,952%. Il DR è 4,881% − 2,952% = 1,929 punti percentuali annui. La formula approssimata dà 2,000 punti usando le varianze delle sei osservazioni con divisore 6: lo scarto è circa 0,071 punti. Il rendimento in più rispetto all’acquisto e mantenimento è invece circa 1,906 punti annui: il termine di confronto è diverso.

Oscillazioni alternate: confronto su sei anni

Quando il ribilanciamento rende meno

Seconda ipotesi: A rende +25% e B +2% ogni anno, per sei anni. Entrambi hanno volatilità temporale nulla in questa serie costruita. Con il 50/50 ribilanciato il rendimento annuo è 13,50%; lasciando invariato il numero di quote, il componente che cresce di più aumenta il proprio peso fino a circa il 77,2%.

Il DR è zero perché 13,50% è la media dei due tassi composti. Eppure il saldo ribilanciato è inferiore di 33,26 euro: il DR e il vantaggio rispetto all’acquisto e mantenimento misurano cose diverse. Nessuno dei due esempi indica quale strategia vincerà in futuro.

Crescita costante: stesso capitale iniziale di 100 euro

Una stima sensibile alla correlazione

Input ipotetici: volatilità annue del 16% e del 6%, pesi 60/40 mantenuti costanti. Cambia soltanto la correlazione. Un punto base è 0,01 punti percentuali: 35 punti base equivalgono a 0,35 punti percentuali.

I valori sono approssimazioni lorde, non previsioni né un vantaggio certo sull’acquisto e mantenimento. Tra −0,20 e +0,60 la stima scende di circa il 46,5%, quasi della metà. Costi di transazione ed eventuali imposte sulle plusvalenze realizzate possono assorbire parte del beneficio; dipendono dalle operazioni e dal regime applicabile.

DR approssimato: stessi pesi e volatilità

Formula equivalente per due attivi: DR ≈ ½ × w₁ × w₂ × (σ₁² + σ₂² − 2ρσ₁σ₂).

Il limite e il passo successivo

Questi sono esercizi aritmetici con serie costruite, non dati storici di prodotti, probabilità di perdita o proposte di allocazione. Il confronto fra ordini conserva esattamente gli stessi rendimenti: una strategia che reagisce al percorso, costi diversi o flussi proporzionali possono cambiare le conclusioni.

Riepilogo: senza flussi il prodotto fissa il saldo finale; con importi fissi conta il calendario; il ribilanciamento controlla i pesi ma il suo DR non misura una vittoria sull’acquisto e mantenimento. Per continuare, leggi Diversificazione: due misure da distinguere.